Dipartimento di Matematica

Tra i principali filoni di ricerca di cui si occupa il gruppo si evidenziano: metodi variazionali per la segmentazione e l'inpainting di immagini; ottimizzazione di forma: disuguaglianze geometrico-funzionali, partizioni ottimali; problemi con discontinuità libera; problemi di minimo non coercivi connessi a questioni di elasticità; problemi di frontiera libera associati a disequazioni variazionali; metodi di analisi convessa; problemi di controllo. L’analisi spettrale degli operatori scalari ed i calcoli funzionali basati sulla teoria delle funzioni olomorfe costituiscono una parte fondamentale dell’analisi funzionale con varie applicazioni alla teoria delle equazioni differenziali. A partire dal 2006 è stata introdotta una nuova teoria spettrale (basata sulla nozione di S-spettro) per operatori vettoriali che fornisce un nuovo calcolo funzionale vettoriale e iperolomorfo e consente, ad esempio, di definire e studiare una nuova classe di problemi di diffusione frazionaria.

• Calcolo delle Variazioni.
• Metodi variazionali per la segmentazione e l'inpainting di immagini.
• Riduzione dimensionale in elasticità non lineare e funzionale di recessione.
• Problemi di ottimizzazione di forma e disuguaglianze geometrico-funzionali.
• Problemi con discontinuità libera.
• Problemi di partizione ottima.
• Calcoli funzionali iperolomorfi e decomposizione spettrale di operatori lineari vettoriali.
• Proprietà delle potenze frazionarie di operatori vettoriali e studio di nuove classi di problemi di diffusione frazionaria.

Il gruppo di ricerca si occupa di

• modelli differenziali della fisica matematica
• modelli per ponti sospesi e sistemi meccanici
• dinamica dei fluidi e interazioni con le strutture
• metodi analitici-geometrici

• equazioni differenziali alle derivate parziali evolutive
• equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico
• analisi geometrica e geometria riemanniana
• sistemi dinamici
• diffusione non lineare
• equazioni differenziali ordinarie

Il gruppo si occupa di questioni di esistenza, molteplicità\unicità, regolarità e proprietà qualitative per soluzioni di equazioni differenziali, lineari o nonlineari, stazionarie o di evoluzione. In particolare, sono di interesse problemi che nascono da motivazioni modellistiche e/o applicate. Nello specifico:

• Soluzioni normalizzate per equazioni di Schrodinger non lineari. 
• Equazioni e sistemi di reazione-diffusione in dinamica delle popolazioni: persistenza, estinzione, forte competizione e formazione di pattern; problemi di frontiera libera e ottimizzazione di forma associati.
• Problemi Inversi: buona posizione e problemi inversi per equazioni e sistemi semilineari; stime di stabilità e principi di continuazione unica.
• Equazioni alle derivate parziali Hamiltoniane, sistemi dinamici infinito dimensionali.
• Equazioni su grafi metrici o pesati.

Analisi funzionale, spettrale e di Fourier. Metodi variazionali, teoria dei punti critici. Metodi topologici, teoria della biforcazione. Regolarità.
 

Il gruppo si focalizza sulla modellistica numerica di problemi dell'ingegneria, della fisica, delle scienze biomediche e delle scienze della terra. Larga parte dell’attività si svolge all’interno del laboratorio MOX (http://mox.polimi.it) ed in particolare il gruppo di attività numeth@mox (http://numeth.mox.polimi.it). Dal punto di vista delle applicazioni, si affrontano applicazioni in ambito biomedico (http://bio.mox.polimi.it), di geofisica computazionale (http://compgeo.mox.polimi.it), fluidodinamica ambientale e matematica industiale (http://fluids.mox.polimi.it), dispositivi elettronici e bioelettronica (http://www1.mate.polimi.it/~ricsac/research.html).

Analisi Numerica, Calcolo scientifico ed elaborazione dati, Applicazione della matematica alle scienze, Applicazione della matematica nell’industria e nella società

Il gruppo si occupa di ricerca sulle tecniche innovative di didattica e divulgazione scientifica della matematica in varie direzioni, che includono in particolare le nuove tecnologie didattiche (ad esempio i MOOCs), ma anche i rapporti con l'architettura, l'arte, il teatro, i beni culturali, la storia e la filosofia della scienza, l'astronomia.

Il Nicola Bruti Liberati Quantitative Finance Lab (QFinLab) è un punto di riferimento nel panorama nazionale e internazionale per la formazione, la ricerca e le collaborazioni con l'industria nell'ambito della finanza quantitativa: asset management, risk management, valutazione derivati. E' inoltre attivo nell'ambito dell'educazione finanziaria, attraverso il MOOC "Finanza per Tutti" e le attività che confluiscono nel sito web www.imparalafinanza.it, nell'ambito delle nuove tecnologie e dell'analisi della regolazione, tematiche cui è dedicato il sito www.finriskalert.it.

Il gruppo ha competenze in tutti i campi della Finanza Quantitativa, che comprende tutte le applicazioni degli strumenti quantitativi alla finanza (matematica, statistica, metodi computazionali) con applicazioni che spaziano dalla valutazione di titoli derivati alla gestione del rischio, dalla gestione dei portafogli alla costruzione di prodotti finanziari.

Il nostro gruppo di ricerca si occupa degli aspetti matematici della meccanica quantistica e delle teorie quantistiche di campo, nonché degli aspetti teorici della meccanica statistica del non-equilibrio.

Il nostro obiettivo principale è la derivazione di risultati matematici rigorosi e la loro applicazione allo studio di fenomeni fisici complessi che vanno dalle scala meso- a quella microscopica.

L'ambiente matematico, all'interno del quale si svolge la nostra ricerca, comprende strumenti di indagine quali le equazioni alle derivate parziali e le equazioni integro-differenziali, la teoria degli operatori, l'analisi funzionale nonlineare.

Pagina web: https://sites.google.com/view/fismatpolimi

• Modelli nonlineari di fenomeni quantistici;
• Superconduttività e superfluidità;
• Operatori di Schrödinger a pochi e molti-corpi; 
• Sistemi quantistici aperti e decoerenza;
• Rinormalizzazione in teoria quantistica dei campi;
• Analisi semi- e quasi-classica nella teoria quantistica dei campi;
• Teoria quantistica dei campi su varietà di buco nero;
• Teoria cinetica dei gas rarefatti e l'equazione di Boltzmann;
• L'equazione cinetica di Smoluchowski e le sue applicazioni alla ricerca biomedica.

Gli ambiti principali di ricerca del gruppo comprendono: algebra e informatica teorica, algebra commutativa e computazionale, analisi complessa e ipercomplessa, combinatoria algebrica ed enumerativa, geometria algebrica, analisi geometrica, geometria differenziale, matematica discreta, teoria dei grafi, teoria della rappresentazione.
Le applicazioni spaziano in varie direzioni tra cui ricostruzione o riconoscimento di immagini, tomografia discreta e geometrica, teoria dei codici, teoria dei signali, neuroscienze, analisi topologica dei dati.

Pagina web: https://www.geometry-algebra.polimi.it/

Modellistica matematica di fenomeni multifisici complessi per applicazioni di rilevanza ingegneristica e nelle scienze applicate, in particolare per l'industria 4.0, la space science e la medicina di precisione.

Modellistica e simulazione numerica di propagazione ondosa, instabilità fluidodinamiche e turbolenza.
Applicazioni della meccanica dei continui in contesti di rilevanza industriale, con particolare riguardo allo sviluppo di modelli guidati dai dati per l'industria 4.0.
Modellistica matematica di  materia soffice attiva, tessuti biologici con crescita e tensioni residue, mezzi porosi,  fluidi multifase e flussi complessi, gas rarefatti, cristalli liquidi.
Sviluppo di modelli predittivi di medicina personalizzata, di strumenti di simulazione numerica informati da dati clinici e di metodi di machine learning a supporto delle decisioni mediche.

modelling, data driven methods, industry 4.0, space science, precision medicine

Analisi matematica di equazioni di evoluzione che governano fenomeni dissipativi (p.es. fluidodinamica, processi ereditari, cambiamenti di fase) con particolare riguardo a buona positura, regolarità e comportamento a lungo termine delle soluzioni. Problemi inversi e di controllo per equazioni differenziali.

Conoscenza di strumenti teorici avanzati per studiare le proprietà qualitative di modelli matematici basati su equazioni differenziali che intervengono in diversi problemi applicativi quali, p.es., identificazione di inclusioni o fratture, frontiere libere, conduzione del calore in materiali complessi, separazione di fase nei fluidi, ottimizzazione di forma, crescita tumorale, propagazione di onde in mezzi viscoelastici.

Analisi e modellizzazione di fenomeni aleatori in fisica, biologia, finanza, econometria. Inferenza Bayesiana. Ottimizzazione stocastica, filtraggio, controllo, equazioni stocastiche retrogade. Probabilità e Informazione quantistiche: sistemi aperti quantistici, applicazioni all'ottica quantistica, incertezza quantistica.

Applicazioni di modellistica basata su processi stocastici:

• Controllo ottimo in dimensione finita e infinita di processi markoviani e non-markoviani, diffusivi e di puro salto; controllo lineare quadratico. Applicazioni alla modellistica finanziaria.
• Valutazione e copertura di derivati finanziari, in particolare quelli scambiati sui mercati dell'energia.
• Studio di modelli stocastici di diffusione di informazioni/epidemie. Questo trova una naturale applicazione ad esempio nello sviluppo di strategie volte ad arginare epidemie (vaccinazioni) oppure volte a favorire la rapida diffusione di informazioni.
• Costruzione e analisi statistica di processi markoviani, costruzione di processi bayesiani semi-markoviani, modelli bayesiani per l'analisi della sopravvivenza con applicazioni a dati biologici e dati sismici. Modelli econometrici bayesiani applicati allo studio della distribuzione di popolazione regionale.
• Lunga esperienza nello sviluppo della teoria e nelle applicazioni di dinamiche per sistemi aperti quantistici e generatori di semigruppi dinamici quantistici, dell’equazione di Schrödinger stocastica, delle equazioni differenziali stocastiche quantistiche; sviluppo di tecniche entropiche per l’analisi di informazione e incertezza in sistemi quantistici, il cui naturale sbocco è nel campo emergente delle tecnologie quantistiche.

Il gruppo si focalizza sui metodi e i modelli statistici applicati alla risoluzione di problemi industriali, delle scienze biomediche, delle scienze della terra o delle scienze sociali. In aggiunta all’intensa attività di ricerca teorica, anche secondo l’approccio bayesiano, il gruppo promuove la ricerca applicata all’interno del laboratorio MOX (http://mox.polimi.it) nella area Statistics@MOX (https://statistics.mox.polimi.it). Approfondimenti specifici sono quelli relativi al trattamento di dati complessi e ad alta dimensionalità ed alla health analytics. In ambito bayesiano, la ricerca è volta agli aspetti modellistici e computazionali, con particolare riferimento ai modelli mistura per l’analisi di raggruppamento.

Big data, statistical learning, analisi di dati funzionali, statistica bayesiana, data mining, modelli lineari generalizzati e ad effetti misti, modelli d’urna per disegni sperimentali adattivi, geostatistica, health care management.