Dinamica di semigruppi di mappe olomorfe del disco in se e comportamento al bordo

E ben noto che ogni semigruppo (continuo) di mappe olomorfe dal disco in se corrisponde ad un campo di vettori olomorfo semicompleto, detto generatore infinitesimale del semigruppo, e
viceversa. Pertanto e naturale attendersi che le proprieta dinamiche del semigruppo siano collegate alle proprieta analitiche del suo
generatore infinitesimale. In particolare, gli zeri del generatore infinitesimale corrispondono ai punti fissi del semigruppo, e questo e
vero, con qualche cautela, anche per gli zeri al bordo del disco (dove gli elementi considerati non sono nemmeno continui in genere). In un
recente lavoro con M. Contreras e S. Diaz-Madrigal, l oratore ha introdotto e studiato delle singolarita di tipo polo al bordo per il
generatore infinitesimale e provato che, abbastanza sorprendentemente,
queste corrispondono a punti del semigruppo con beta-numeri di Carleson-Makarov positivi, da cui si ottiene una naturale relazione con la congettura di Brennan. Lo scopo di questo seminario e di introdurre le idee sopra esposte per un pubblico con conoscenze di base di analisi
complessa.