SPAZI DI MODULI DI VARIETA PEROIETTIVE CLASSIFICANTI, E LA AZIONE DEL GRUPPO DI GALOIS ASSOLUTO

Sottotitolo: Come l' angelo della topologia può convivere col diavolo della algebra astratta*.

Il legame tra algebra e topologia è duplice: la topologia algebrica, si pensi al teorema di Brouwer del punto fisso, od al teorema di Borsuk-Ulam, traduce la esistenza di certe applicazioni continue in esistenza di omomorfismi con certe proprietà algebriche .

Viceversa, la teoria dei fibrati e della omotopia dà una incarnazione topologica di un gruppo.

Tale teoria, detta degli spazi classificanti, traduce viceversa omomorfismi di gruppi in applicazioni continue. La questione della regolarità di tali applicazioni e della loro eventuale olomorficità, sviluppata negli ultimi 40 anni, ha potenti applicazioni nella teoria dei moduli.

Il caso più noto è la teoria delle varietà di Albanese associate a varietà algebriche, meno nota è la teoria delle loro varietà quozienti,
tra cui le cosiddette varietà di Bagnera De Franchis.

Dopo avere dato esempi di classi di varietà proiettive che sono spazi classificanti, ed avere illustrato come la topologia dia risultati molto forti in teoria dei moduli, mi dedicherò alla azione del gruppo di Galois assoluto Gal, ed alla sua azione su spazi di moduli.

In particolare sugli spazi di moduli di varietà proiettive classificanti. Si ottengono così azioni fedeli, realizzando un programma di Grothendieck, ed un importante fenomeno, cioè che ci sia, per ogni g
in G non equivalente alla coniugazione complessa, sempre una
superficie S tale che S e g(S) hanno gruppi fondamentali non isomorfi.







*Nota storica: In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each individual mathematical domain.Hermann Weyl (1939), p.500 di "Invariants", Duke Mathematical Journal 5 (3): 489-502.