Operatori ipoellitici, operatori di Hörmander: cosa sono e perché si studiano

E la prima lezione di un minicorso
organizzato nell ambito delle iniziative del gruppo Equadif.

Titolo: Operatori ipoellittici e campi vettoriali di Hörmander: un invito allo studio

Relatore: Marco Bramanti

Periodo: febbraio-marzo 2012

Ipotesi di planning (su 4 incontri di 2 ore l’uno):

Operatori ipoellittici e operatori di Hörmander: che cosa sono; problemi che conducono a studiare operatori di questo tipo. (1° incontro)
Risultati e tecniche fondamentali nello studio degli operatori di Hörmander:
1. Stime a priori mediante soluzioni fondamentali o parametrici e tecniche di gruppi di Lie e integrali singolari. (Anni 70). (2° incontro)
2. Metriche indotte da campi vettoriali, geometria degli operatori di Hörmander e applicazioni. (Anni 80). (3° incontro)
Ulteriori sviluppi di ricerca: (4° incontro)
Equazioni di Kolmogorov-Fokker-Planck su gruppi omogenei o non omogenei. (Anni 90).
Equazione di Levi, equazioni non lineari modellate su campi di Hörmander. (Anni 90).
Operatori a coefficienti non regolari modellati su campi di Hörmander. (Anni 2000).

Abstract / presentazione:

Tra le equazioni a derivate parziali lineari del 2° ordine, di tipo ellittico - parabolico degenere, gli operatori di Hörmander costituiscono una classe interessante per varie ragioni: nascono in modo naturale da diverse classi di problemi e modelli, sono operatori ipoellittici, cioè fortemente regolarizzanti, e condividono molte buone proprietà degli operatori ellittici o parabolici non ostante il loro carattere degenere. Lo studio di questi operatori si sviluppa a partire dalla fine degli anni 1960 e rappresenta un terreno di confluenza di molte discipline matematiche, sia dal punto di vista delle motivazioni che da quello degli strumenti usati. In questo minicorso, di natura introduttiva e totalmente self-contained, si farà anzitutto una panoramica sulle motivazioni per lo studio di questi operatori, quindi si presenteranno alcune idee contenute nei lavori fondamentali del settore, che costituiscono tuttora gli strumenti basilari per la ricerca in questo campo; infine si farà una rassegna di sviluppi e direzioni di ricerca più recenti.