Un introduzione al posizionamento ottimo

Introduzione ai problemi di posizionamento ottimo.

Il problema tipo è il seguente: data una regione geografica $ Omega$ identificata con un aperto di $R^n$ e abitata da una popolazione distribuita con densità $ varphi,$ posizionare in $ Omega$ un insieme $ Sigma$ da scegliere in una classe opportuna di insiemi ammissibili, in modo tale da minimizzare la distanza media della popolazione da esso.
Con questo modello si può rappresentare il problema di localizzare un assegnato numero di scuole, uffici postali o reti ferroviarie, in modo da rendere minimo il costo totale di trasporto dei residenti verso i servizi.
L approccio al problema è variazionale: una configurazione ottima $ Sigma$ è ottenuta come minimo di un opportuno funzionale.

Il seminario si sviluppa in 2 parti.
Nella prima vengono introdotti gli strumenti teorici: la teoria geometrica della misura (in particolare misure e distanza di Hausdorff), la teoria della $ Gamma$-convergenza e la teoria del trasporto ottimo.

Nella seconda parte vengono presentati i risultati classici di posizionamento e irrigazione , nel caso in cui $ Omega$ sia limitato e la densità di popolazione $ varphi$ sia non negativa.

Si presenta un problema nuovo: il posizionamento ottimo su un aperto $ Omega,$ ammettendo che la densità di popolazione possa avere segno qualsiasi.

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