On the error bound in the normal approximation for Jack measures

The one?parameter family of Jack_? measures on partitions of n is an important discrete analog of Dyson’s ? ensembles of random matrix theory.  Except for ? = ½, 1, 2, which have group theoretic interpretations, the Jack_ ? measure is difficult to analyze. In the case ? = 1, the Jack measure agrees with the Plancherel measure on the irreducible representations of the 
symmetric group S_n, parametrized by the partitions of n.  The normal approximation for the 
character ratio evaluated at the transposition (12) under the Plancherel measure has been well 
studied, notably by Fulman (2005, 2006) and Shao and Su (2006).  A generalization of the 
character ratio under the Jack_ ? measure has also been studied by Fulman (2004, 2006) and 
Fulman and Goldstein (2011).  In this talk, we present results on both uniform and non?uniform 
error bounds on the normal approximation for the Jack_ ? measure for ? > 0.   Our results 
improve those in the literature and come very close to solving a conjecture of Fulman (2004).  
Our proofs use Stein’s method and zero?bias coupling. This talk is based on joint work with Le 
Van Thanh.