Stime analitiche e numeriche per la frequenza fondamentale di membrane poligonali: questioni facili, meno facili, e ancora aperte.

Nel 1877 Lord Reyleigh congetturò che, tra tutti i tamburi di area fissata, quello circolare producesse la nota più grave possibile.
Una prima dimostrazione arrivò solo nel 1923-24 indipendentemente da G. Faber e E. Krahn.
Nel 1945, infine, G. Pólya e G. Szegö provarono un
Teorema di più ampio respiro, che permise di rispondere alla congettura di Reyleigh così come molte alte.
Il loro lavoro venne coronato dal libro Isoperimetrical Inequalities in Mathematical Physis , pubblicato nel 1952, divenuto oramai un classico sull argomento.
Proprio ispirandomi a quest ultimo cercherò, nel seminario, di descrivere in termini matematici la congettura di Reyleigh, legata al
problema agli autovalori per l operatore di Laplace, tracciando i punti cardine della dimostrazione (basata sulla simmetrizzazione di
Steiner). Più in generale, mostrerò alcune stime più fini per poligoni regolari, e congetture ancora aperte a riguardo.
Verranno inoltre discussi alcuni interessanti aspetti riguardo il problema agli autovalori, come la soluzione sul triangolo equilatero e
la regolarità fino al bordo delle autofunzioni.

web.mate.polimi.it/cdv/