DIFFUSIONE, TRASPORTO OTTIMO E CURVATURA
La teoria delle forme di Dirichlet (Fukushima 1980, Albeverio, Ma-Rockner 1992,…) permette di costruire processi di diffusione in spazi di misura molto generali.
Ad essi è possibile associare una geometria intrinseca grazie alla distanza di Biroli-Mosco (1991), un formalismo di calcolo differenziale (il cosiddetto Gamma-calcolo) e una nozione di curvatura-dimensione seguendo l’approccio introdotto da Bakry-Emery (1984), legata ad importanti disuguaglianze geometrico-funzionali.
Più recentemente, partendo da uno spazio metrico di misura invece che da una forma di energia, si è sviluppata una teoria metrica degli spazi di Sobolev (Koskela-MacManus 1998, Cheeger 1999, Shanmugalingam 2000) che porta alla costruzione di una diffusione (generalmente nonlineare) e di un calcolo non-smooth al primo ordine.
I lavori di Lott-Villani e Sturm (2006-2009) hanno poi introdotto il punto di vista del trasporto ottimo per definire una condizione di curvatura-dimensione stabile per convergenza di Gromov-Hausdorff e con importanti applicazioni geometriche.
Questi due punti di vista mettono in luce interessanti aspetti anche nel caso più semplice di una equazione di diffusione-trasporto in R^n con coefficienti sufficientemente regolari o, più in generale, in varietà Riemanniane.
Il seminario si propone di introdurre queste tematiche e di presentare alcuni recenti risultati, ottenuti in collaborazione con Ambrosio e Gigli, che mostrano come i due punti di vista sono essenzialmente equivalenti.