Alberto Barchielli (Politecnico di Milano): Modelli stocastici ed equazioni di Kolmogorov-Fokker-Planck

Le equazioni di Langevin sono equazioni di moto, del tipo delle equazioni di Hamilton, in cui appare una forza proporzionale ad un “rumore bianco”. La necessità di dare un significato matematico a queste equazioni portò allo sviluppo del “calcolo stocastico di Itô” e alla nozione di “equazione differenziale stocastica”. La soluzione di una di queste equazioni è un processo di Markov le cui probabilità di transizione sono legate a oggetti che soddisfano l' “equazione di Kolmogorov all'indietro”. Sotto ulteriori ipotesi, si ottiene l'esistenza delle densità di probabilità di transizione, e sono queste densità che soddisfano l' “equazione di Kolmogorov in avanti”, o “equazione di Fokker-Planck”.
La presentazione matematica del calcolo stocastico e delle equazioni differenziali stocastiche richiederebbe troppo tempo per gli scopi di questa Scuola. Queste lezioni intendono solamente dare qualche idea euristica sul calcolo stocastico, per capire cosa sia un'equazione differenziale stocastica e come a partire da questa si ottenga l'equazione di Kolmogorov-Fokker-Plank.
Questi punti saranno illustrati introducendo esempi di equazioni di interesse per la fisica o, più in generale, per le scienze applicate.

Un semplice testo che contiene tutti gli argomenti di cui abbiamo bisogno è:

Una presentazione matematicamente accurata è data da:

Libri completamente dedicati alle applicazioni sono:

 

Anthony Bloch (University of Michigan): Geometric control theory and applications

The course will be based essentially on the book:

Outline:

1. Examples and mathematical preliminaries.

2. Geometric Mechanics

3. Geometric Control

4. Nonholonomic Mechanics

5. Optimal Control and sub-Riemannian geometry.

 

Bruno Franchi (Università di Bologna): Geometria indotta da campi vettoriali

Distanza di Carnot-Carathéodory associata a una famiglia di campi vettoriali e applicazioni alle equazioni ellittiche degeneri (disuguaglianza di Harnack e regolarità Hölderiana).

Proprietà di duplicazione della misura delle palle e disuguaglianza di Poincaré.

Spazi di Sobolev e spazi BV associati a metriche di Carnot-Carathéodory.

Nozione di misura intrinseca di una sottovarietà rispetto ad una metrica di Carnot-Carathéodory.

Indicazioni bibliografiche saranno fornite durante il corso.

 

Ermanno Lanconelli (Università di Bologna): Equazioni differenziali lineari del second’ordine ipoellittiche:

Operatori di Hörmander  su gruppi di Lie omogenei

1. Le equazioni di Kolmogorov e la condizione di Hörmander

Nel 1934 Kolmogorov introdusse una classe di equazioni paraboliche degeneri le cui soluzioni positive rappresentano la densità di probabilità di sistemi fisici con fissati gradi di libertà. Per il prototipo di queste equazioni Kolmogorov costruì una esplicita soluzione fondamentale di classe   fuori dai  poli. Il corrispondente operatore differenziale è quindi ipoellittico. In questa prima parte del corso, si presenta la costruzione delle soluzione fondamentale di Kolmogorov, e si prova che la sua  esistenza segue da una  condizione di “rango massimo” per un'opportuna algebra di Lie di campi vettoriali (questa condizione, se formulata per gli operatori differenziali “somme di quadrati”, diventa  la celebre condizione di ipoellitticità di Hörmander).  Si riconosce poi che l'algebra di Lie che “governa” l'operatore di Kolmogorov, è l'algebra di un gruppo di Lie omogeneo, rispetto alle cui traslazioni a sinistra e dilatazioni, l'operatore stesso è invariante. Questa parte del corso è contenuta nella nota:

2. Gruppi di Lie omogenei in : una introduzione “self-contained”

In questa parte del corso si presentano i primi elementi della teoria dei gruppi di Lie omogenei in . La   presentazione è “self-contained”, rivolta a non specialisti, e richiede soltanto conoscenze elementari del calcolo differenziale per funzioni vettoriali di piu' variabili reali. Saranno disponibili note scritte.

3. Operatori di Hörmander invarianti su gruppi omogenei:

(i)     Soluzione fondamentale;
(ii)    Disuguaglianza di Harnack;
(iii)   Teoremi di Liouville;
(iv)   Teoria del potenziale.

Quest'ultima parte del corso è incentrarata sulle due note seguenti:

 

Marco Peloso (Politecnico di Torino): Problemi geometrici in più variabili complesse e campi vettoriali:

Analisi del Kohn-Laplaciano su varietà di Cauchy-Riemann

Di fondamentale importanza in analisi di più variabili complesse sono le equazioni di Cauchy-Riemann su domini, e le equazioni di Cauchy-Riemann tangenziali su varietà immerse. Queste equazioni vengono generalmente studiate introducendo un problema di valori al bordo, il cosiddetto problema -Neumann e un operatore sulla varietà, il Laplaciano di Kohn, rispettivamente. Nell'analisi della regolarità di tali problemi ed operatori risulta di fondamentale importanza la condizione dei campi di Hörmander, o un suo opportuno analogo. In questo breve ciclo di lezioni si studierà l'operatore di Kohn-Laplace †  sulle varietà di Cauchy-Riemann e si mostrerà come proprietà geometriche della varietà possano garantire la validità della condizione di Hörmander e quindi una certa regolarità delle soluzioni dell'equazione †. Si indicheranno applicazioni di questi risultati. Infine, tempo permettendo, si introdurrà il problema di valori al bordo -Neumann.

Programma (di massima)

Bibliografia (parziale)