Tesi di LAUREA SPECIALISTICA
TitoloAnalisi teorica e metodi a basi ridotte per problemi di ottimizzazione parametrica governati da EDP
Data2013-10-03
Autore/iPagani Stefano
RelatoreSalsa, S.
RelatoreManzoni, A.
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AbstractL’obiettivo di questa Tesi è l’analisi di problemi di ottimizzazione parametrica governati da Equazioni a Derivate Parziali (EDP) parametrizzate, e lo sviluppo di un metodo a basi ridotte per la loro risoluzione numerica. In particolare, vengono considerati problemi di controllo ottimo governati da EDP, in cui la variabile di controllo coincide con un vettore di parametri, che possono riguardare sia termini o sorgenti di tipo fisico sia configurazioni geometriche. In questo modo, formulando il problema di stato con una EDP parametrizzata,è possibile risolvere con questo approccio problemi di controllo ottimo, di controllo di forma parametrizzata e di identificazione dei parametri. Abbiamo sviluppato un’analisi di buona posizione e una procedura numerica di ottimizzazione, utilizzando l’approccio ottimizza-discretizza, basata sull’utilizzo di metodi di discesa (con direzioni sia di tipo gradiente che Newton). Ad ogni passo di questa procedura, l’approssimazione di Galerkin-Elementi Finiti del problema di stato e del problema aggiunto viene sostituita con una approssimazione a basi ridotte, generando dunque un approccio di tipo “ottimizza-discretizza-riduci”. Ciò permette di velocizzare la risoluzione del problema di ottimizzazione, fornendo due insiemi di soluzioni di base per il problema di stato e il problema aggiunto. In questo modo è possibile ricavare la soluzione dei due problemi e valutare le quantità di interesse -come il funzionale costo e il suo gradiente - attraverso una fase online rapida e poco costosa dal punto di vista computazionale. Inoltre, per garantire la buona approssimazione dei risultati ottenuti con il metodo a basi ridotte, vengono sviluppate delle opportune stime dell’errore a posteriori per la soluzione del problema di stato e per l’aggiunto, per il funzionale costo, il suo gradiente e per il valore ottimo dei parametri ottenuto con la procedura iterativa di minimizzazione. Applichiamo questo approccio alla soluzione di problemi di controllo ottimo, controllo di forma e di identificazione dei parametri con funzionali costo quadratici e vincoli lineari. Gli esempi numerici proposti riguardano il controllo di flussi termici parametrizzati e il design ottimale per il controllo del flusso attorno a un profilo alare. In entrambi questi casi si mostrano, mediante alcuni test numerici, l’applicabilità dell’analisi teorica sviluppata, l’efficienza numerica della metodologia a basi ridotte e la robustezza delle stime a posteriori dell’errore sviluppate in questo lavoro. The objective of this Master Thesis is to analyze PDE-constrained parametrized optimization problems, and to develop a Reduced Basis method for their numerical approximation. In particular, we consider optimal control problems governed by PDEs, by assuming that the control functions are described in terms of a vector of parameters, which can be related to both physical sources/terms and geometrical configurations. In this way, by formulating the state problems as parametrized PDEs, we are able to manage optimal control, shape optimization and inverse identification problems through the same framework developed in this work. We address both a well-posedness analysis and a numerical optimization procedure, by exploiting the so-called optimize-then-discretize approach, with a descent method (based either on gradient or Newton directions). At each step of such a procedure, we replace the Finite-Element approximation of state and the adjoint problems, with a certified reduced basis approximation, thus yielding an optimize-then-discretize-then-reduce approach. This allows to speed up the solution of the whole optimization problem, by providing a database of solutions to approximate the state and the adjoint problems. In fact, each online evaluation of their solutions (and of related quantities such as the cost functional and its gradient) can be performed in a very fast and inexpensive way. Moreover, to ensure a reliable approximation, we develop suitable a posteriori error estimates for the solutions of the state and adjoint problems, for the cost functional, its gradient and the solution of the global optimization procedure itself. We apply this framework to the solution of linear-quadratic optimal control, shape optimization and inverse identification problems. We presents some numerical results dealing with convection/conduction problems for parametrized thermal flows, and the optimal flow control/design of a parametrized family of NACA airfoils. In all these cases, we take advantage of the thoretical analysis provided, the reduced basis methodology and the a posteriori error estimates developed in this work, by showing the computational effectivity of such a procedure.