Tesi di LAUREA SPECIALISTICA Titolo Rappresentazioni indecomponibili di algebre di Lie non semplici Data 2011-07-20 Autore/i Salari, Valentina Relatore Frajria Moseneder, P. Relatore Casati, P. Full text non disponibile Abstract Lo studio dei gruppi e delle algebre di Lie è considerato uno degli argomenti centrali della matematica, presente in quasi tutti i suoi campi, dall’algebra alla geometria, dall’analisi alla fisica matematica. Trova inoltre applicazione nella fisica teorica e in ambito ingegneristico. Si pensi ad esempio alla teoria dell’analisi armonica che si basa quasi interamente su tali concetti. Costituiscono un punto di partenza anche nelle applicazioni delle equazioni differenziali non lineari. In fisica teorica la teoria delle particelle elementari è basata sulla teoria delle rappresentazioni dell’algebra di Lorentz SO(3, 1), mentre le attuali teorie conformi e delle stringhe sono basate sulle teorie del gruppo conforme e dell’algebra di Lie Virasoro. Nel campo ingegneristico le applicazioni più importanti sono in ambito elettronico, nella costruzioni di impianti HiFi, e nella robotica. Proprio a causa del ruolo che ricopre in svariati ambiti della matematica questa teoria conosce continui progressi. Tra i nuovi argomenti di ricerca vi sono i Quantum Groups, le algebre di Kac-Moody, gli operatori di vertice e gli Yangians. Limitandosi anche soltanto alle algebre di Lie finito dimensionali molti problemi sono ancora aperti. Uno dei più importanti programmi di ricerca sviluppato negli ultimi anni e ancora in corso è Atlas of Lie Groups and Representations. Lo scopo di questo progetto è quello di raccogliere tutti più significativi risultati legati alla teoria dei gruppi e delle algebre di Lie. Forse il problema più importante di cui si occupa questo progetto è la classificazione di rappresentazioni unitarie. Un recente successo di questo gruppo di ricerca è stata la classificazioni di tutte le rappresentazioni dell’algebra di Lie eccezionale E8, che si è meritato perfino un articolo sul New York Times [31], [30]. Vogliamo anche noi, con il lavoro di questa tesi, dare un contributo in questa direzione. In particolare abbiamo costruito rappresentazioni indecomponibili finito dimensionali di algebre non semplici; l’algebra risolubile e(2) delle trasformazioni rigide nel piano; l’algebra Diamante che risulta essere un’algebra risolubile 4-dimensionale, che può essere vista come estensione centrale dell’algebra di Poincarè in due dimensioni; infine l’algebra delle trasformazioni rigide nel piano e(3) che è il prodotto semidiretto dell’algebra so(3) e dell’algebra abeliana 3-dimensionale. E stata inoltre costruita una nuova base adattata per le rappresentazioni finito-dimensionali delle algebre di Lie semplici che trova applicazioni nello studio delle rappresentazioni delle algebre risolubili.