Tesi di LAUREA SPECIALISTICA Titolo Approssimazione numerica di soluzioni stazionarie delle equazioni di Navier Stokes bidimensionali ad alti numeri di Reynolds Data 2011-03-31 Autore/i Giannini, Claudia Relatore Nobile, F. Full text non disponibile Abstract In questa tesi è stato studiato il problema della ricerca di soluzioni stazionarie per le equazioni di Navier Stokes ad alti valori del numero di Reynolds. Per grandi valori di questo parametro il regime stazionario governato dalle equazioni di Navier Stokes perde la sua stabilità e, ammesso che la soluzione stazionaria esista, non può essere calcolata con i metodi tradizionali. Il nostro principale obiettivo è lo studio del comportamento della soluzione stazionaria del flusso intorno ad un cilindro, che nel caso di domini illimitati, risulta un caso ampia mente studiato sia dal punto di vista teorico [Gal04], [RS08] che applicativo [CMM09]. Nonostante la sua grande rilevanza e gli innumerevoli tentativi matematici, il problema presenta diverse questioni fondamentali ancora aperte. La più significativa è senza dubbio l’esistenza di una soluzione in 2D per alti valori del numero di Reynolds. Per quanto scoperto fino ad ora non è detto che la soluzione esista. In ogni caso, anche ammesso che esista, la soluzione stazionaria diventa già instabile ad un bassissimo numero di Reynolds. In questo lavoro, le equazioni stazionarie incomprimibili di Navier Stokes, discretizzate con il metodo agli elementi spettrali, sono risolte applicando la tecnica della pseudo transient continuation al metodo di Newton. Il metodo di Newton è interessante per la risoluzione di sistemi non lineari grazie alla sua rapida convergenza, ma è molto sensibile all’iterata iniziale e può divergere se questa non è sufficientemente vicina alla soluzione. Quindi, l’obiettivo della tecnica di globalizzazione pseudo transient continuation è quello di spostare le iterate iniziali nel bacino di attrazione del metodo di Newton. Questo metodo sfrutta le equazioni non stazionarie per ricavare l’equazione lineare per il calcolo degli incrementi di Newton; equazione lineare che viene successivamente risolta seguendo la strategia matrix-free con un metodo di Krylov; dove le iterazioni di Krylov corrispondono alle integrazioni temporali del problema non stazionario. In primo luogo introduciamo i risultati teorici e numerici, presenti in questo momento in letteratura per il problema stazionario di Navier Stokes in un dominio esterno. In secondo luogo, presentiamo il modello matematico utilizzato è il metodo di Newton precondizionato, la cui efficienza è stata testata sul problema del flusso in cavità. Infine, presentiamo i risultati da noi ottenuti per il problema di interesse.