Tesi di LAUREA SPECIALISTICA
TitoloProblemi ellittico-parabolici degeneri al bordo e buona posizione del problema derivante dal modello di Heston
Data2010-10-22
Autore/iBandini, Andrea
RelatoreSalsa, S.
RelatoreSgarra, C.
CorrelatoreTrivellato, B.
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AbstractIn questa tesi ci si propone di studiare i problemi ellittici e parabolici quando l operatore degenera in alcuni tratti di bordo del dominio, e la loro applicazione a diversi problemi di rilievo in nanza, in particolare allo studio del modello di Heston. Nella prima parte si descrive il modello nanziario di Heston, che si basa sull idea di rilassare l ipotesi avanzata nel modello di Black-Scholes di volatilità costante del titolo azionario, e modellizzarla con un processo stocastico di tipo CIR. Siccome l equazione alle derivate parziali che permette di valutare il prezzo di un opzione nel contesto del modello di Heston è un equazione parabolica il cui operatore ellittico degenera al bordo, nella seconda parte di questo lavoro ci si occupa dello studio dei problemi ellittici e parabolici degeneri al bordo. Tale studio viene a ffrontato da due punti di vista diff erenti: da un lato, in un ottica deterministica, si sono costruiti teoremi di esistenza ed unicità mediante le tecniche di Analisi Funzionale e i principi di massimo; mentre dall altro, il problema è stato analizzato in ottica stocastica studiando le proprietà del processo stocastico generato dall operatore in gioco e la relativa classi cazione dei punti di frontiera. In particolare si vedrà che i problemi di Dirichlet e Cauchy-Dirichlet studiati non prevedono, a diff erenza del caso non degenere, la prescrizione delle condizioni al bordo su tutto il bordo del dominio, ma occorre studiare la natura delle diverse regioni che compongono la frontiera. Queste due ottiche, che in passato sono state troppo spesso analizzate separatamente, vengono qui presentate assieme, cercando di metterne in luce analogie e complementarietà e di generalizzarne la trattazione rendendola il più unitaria possibile. Successivamente, si analizzano i numerosi modelli in nanza in cui compaiono problemi di questo tipo e si mette in luce in particolare il problema della non-unicità delle soluzioni, che invece è in generale scongiurato per le situazioni non degeneri corrispondenti. Tale questione è studiata anche da un punto di vista stocastico, mostrando che le non unicità compaiono in presenza di processi di prezzo che sono martingale strettamente locali, e dal punto di vista delle interpretazioni e implicazioni fi nanziarie. A questo punto, si procede allo studio della buona posizione del problema di valutazione di opzioni Europee nell ambito di Heston, fornendo una generalizzazione n-dimensionale e studiando una nozione di soluzione che garantisce l unicità. In fine, si passa allo studio del medesimo problema nel caso di titoli derivati Americani, per i quali il problema è più complesso e si presenta nella forma dello studio, con le tecniche dell Analisi Funzionale, di una disequazione variazionale non stazionaria con operatore degenere.