Tesi di LAUREA SPECIALISTICA Titolo Interpolazione 3D di immagini tramite traiettorie nello spazio tangente basata sul parallelismo di piani Data 2010-07-21 Autore/i Nobile, Vitaliano Relatore Marcon, M. Full text non disponibile Abstract The main purpose of this work is to provide a technique that allows a smooth interpolation between images taken from different viewpoints without going through the complete reconstruction of the space. This is possible because in mathematics the rigid motion of an object (in this case of the camera) is modeled with special matrices that belong to a Lie group called special euclidean group. This group has particular properties that allow to calculate a trajectory interpolating between the positions and orientations of a camera before and after a rigid motion by matrix exponentiation. In theory, given the relative displacement of cameras, it s possible to build a virtual projection matrix and create a new image by projecting real 3D points. Unfortunately we can t recover the relative displacement nor the 3D points configuration because we can t access to the euclidean frame from an image pair. Using a plane-parallax model and plane parallelism, we are able to recover the homography induced by the plane at innity and to give an ane reconstruction of the 3D geometry. This allows us to build a new matrix belonging to the special projective group and related to the special euclidean group by a Lie group homomorphism. Exponentiating this matrix we can calculate a trajectory in the projective space and build a new projection matrix which, applied to the ane reconstruction, gives the same image as if the euclidean frame was known. Lo scopo principale di questo lavoro è di fornire una tecnica che permetta un interpolazione fluida tra immagini scattate da punti di osservazione diversi senza tuttavia passare attraverso la ricostruzione completa dello spazio. Questo è possibile considerando che in matematica il movimento rigido di un oggetto (in questo caso della macchina fotografica) è modellizzabile per mezzo di particolari matrici che appartengono ad un gruppo di Lie detto gruppo speciale euclideo. Tale gruppo gode di particolari proprietà che permettono di calcolare per mezzo della mappa esponenziale una traiettoria interpolante tra la posizione e l orientamento di una fotocamera prima e dopo uno spostamento. In teoria, dato lo spostamento della fotocamera, è possibile costruire una matrice di proiezione e creare un immagine virtuale proiettando i punti nello spazio. Purtroppo, solamente a partire da una coppia di fotografie, non è possibile in generale ricavare né lo spostamento relativo né le coordinate spaziali dei punti. Usando un modello piano-parallasse, la struttura affine relativa, siamo però in grado di stimare l omografia indotta dal piano all innito e di dare una ricostruzione affine della geometria. Ciò permette di costruire una nuova matrice appartenente al gruppo speciale proiettivo e legata al gruppo speciale euclideo da un morfismo tra gruppi di Lie. Esponenziando tale matrice si può calcolare una traiettoria interpolante nello spazio proiettivo e costruire una matrice di proiezione che, applicata alla ricostruzione affine, fornisce la stessa immagine che otterremmo nel caso euclideo.