Tesi di LAUREA Titolo Rappresentazioni indecomponibili dell algebra di Lie sl(4;C) Data 2009-09-22 Autore/i Magenes, Veronica Relatore Moseneder Frajria, P. Relatore Casati, P. Full text non disponibile Abstract Il presente lavoro di tesi si svolge nell’ambito della teoria delle Algebre di Lie, ed in particolare delle loro rappresentazioni. La teoria delle rappresentazioni dei gruppi e delle algebre di Lie è infatti uno degli argomenti piú centrali e studiati nella matematica. L’interesse per tale teoria è giustificata dagli ancora numerosi ed importanti problemi aperti basti pensare ad esempio alla classificazione delle rappresentazioni unitarie dei gruppi semisemplici; nonché dalle sue numerose applicazioni che spaziano dalla meccanica quantistica (teoria delle particelle elementari, teoria dei campi, teorie delle stringhe) alla analisi armonica. Inoltre tale teoria è un importante supporto matematico nelle applicazioni nel campo industriale e ingegneristico. Un esempio pratico, che è presentato anche in questo elaborato, è l’utilizzo delle rappresentazioni del gruppo delle rotazioni SO(3) per la costruzioni di un impianto HiFi. Il contributo a tale campo di ricerca presentato in questa tesi è lo studio di una particolare classe di rappresenrtazioni indecomponibili finito dimensionali di un algebra di Lie abeliana e di una sua estensione ad un’algebra risolubile. Infatti poco é giá noto sulle rappresentazioni indecomponibili di algebre risolubili, di cui non esiste tuttora una teoria generale, ma sono studiati solo alcuni casi particolari. Ad esempio sono state recentemente le rappresentazioni indecomponibili dell’algebra di Lie dei moti euclidei nel piano e(2) [3] [24]. L’idea utilizzati in questi lavori sopra citati ed in lavori analoghi é di immergere l’algebra risolubile in questione in un’algebra di Lie semplice piú grande ed usare le rappresentazioni irriducibili di quest’ultime per ottenere rappresentazioni indecomponibili dell’algebra di Lie risolubile di partenza. Nel caso dell’algebra e(2) Douglas e Premat hanno recentemente mostrato [3] [24] che le rappresentazioni irriducibili della algebre di Lie semplici A2, B2 e G2 ristrette a e(2) rimangono indecomponibili. Questo fatto sembra suggerire che per ogni algebra semplice l sia possibile trovare una sottoalgebra a di dimensione pari al rango di l in modo tale che le rappresentazioni irriducibili finite dimensionali di l ristrette a a rimangano indecomponibili. Nella presente tesi mostreremo che cio’ è vero per l’Algebra di Lie semplice sl(4;C): esiste una sua sottoalgebra abeliana con la proprietá sopra citata. L’elaborato si articola nel modo seguente. Nel successivo capitolo abbiamo raccolto tutte le nozioni riguardanti le algebre di Lie e la teoria delle loro rappresentazioni necessarie per capire le sezioni seguenti. Il terzo capitolo viene dedicato ad una breve descrizione dell’applicazione delle rappresentazioni del gruppo SO(3) nella realizzazione di sistemi Hi-Fi. Nel quarto e ultimo capitolo sono studiate le rappresentazioni irriducibili dell’Algebra di Lie semplice A3 sl(4;C), e le loro restrizioni ad un’algebra abeliana di dimensione tre. In particolare l’uso delle corrispondenti basi cristallografiche trovate da Littelman [14] ha permesso di ottenere il risultato principale dell’intero elaborato, ossia la dimostrazione che le restrizioni delle rappresentazioni irriducibili di sl(4;C) a tale sottoalgebra sono moduli indecomponibili.