Organizers: Giovanni Catino and Fabio Cipriani
Simone Pezzuto, Dipartimento di Matematica, Politecnico,
Stime analitiche e numeriche per la frequenza fondamentale di membrane poligonali: questioni facili, meno facili, e ancora aperte., Thursday, March 25, 2010, time 08:30 o'clock, Aula Seminari III piano
Abstract:Abstract:
Nel 1877 Lord Reyleigh congetturò che, tra tutti i tamburi di area fissata, quello circolare producesse la nota più grave possibile.
Una prima dimostrazione arrivò solo nel 1923-24 indipendentemente da G. Faber e E. Krahn.
Nel 1945, infine, G. Pólya e G. Szegö provarono un
Teorema di più ampio respiro, che permise di rispondere alla congettura di Reyleigh così come molte alte.
Il loro lavoro venne coronato dal libro Isoperimetrical Inequalities in Mathematical Physis , pubblicato nel 1952, divenuto oramai un classico sull argomento.
Proprio ispirandomi a quest ultimo cercherò, nel seminario, di descrivere in termini matematici la congettura di Reyleigh, legata al
problema agli autovalori per l operatore di Laplace, tracciando i punti cardine della dimostrazione (basata sulla simmetrizzazione di
Steiner). Più in generale, mostrerò alcune stime più fini per poligoni regolari, e congetture ancora aperte a riguardo.
Verranno inoltre discussi alcuni interessanti aspetti riguardo il problema agli autovalori, come la soluzione sul triangolo equilatero e
la regolarità fino al bordo delle autofunzioni.
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Ilaria Lucardesi, Dipartimento di Matematica, Politecnico,
Un introduzione al posizionamento ottimo, Thursday, March 25, 2010, time 10:00 o'clock, Aula Seminari III piano
Abstract:Abstract:
Introduzione ai problemi di posizionamento ottimo.
Il problema tipo è il seguente: data una regione geografica $ Omega$ identificata con un aperto di $R^n$ e abitata da una popolazione distribuita con densità $ varphi,$ posizionare in $ Omega$ un insieme $ Sigma$ da scegliere in una classe opportuna di insiemi ammissibili, in modo tale da minimizzare la distanza media della popolazione da esso.
Con questo modello si può rappresentare il problema di localizzare un assegnato numero di scuole, uffici postali o reti ferroviarie, in modo da rendere minimo il costo totale di trasporto dei residenti verso i servizi.
L approccio al problema è variazionale: una configurazione ottima $ Sigma$ è ottenuta come minimo di un opportuno funzionale.
Il seminario si sviluppa in 2 parti.
Nella prima vengono introdotti gli strumenti teorici: la teoria geometrica della misura (in particolare misure e distanza di Hausdorff), la teoria della $ Gamma$-convergenza e la teoria del trasporto ottimo.
Nella seconda parte vengono presentati i risultati classici di posizionamento e irrigazione , nel caso in cui $ Omega$ sia limitato e la densità di popolazione $ varphi$ sia non negativa.
Si presenta un problema nuovo: il posizionamento ottimo su un aperto $ Omega,$ ammettendo che la densità di popolazione possa avere segno qualsiasi.
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Dorin Bucur, Univ. Chambery,
Isoperimetric inequalities for eigenvalues by direct methods, Friday, Febraury 12, 2010, time 14:15 o'clock, Aula Seminari III piano
Abstract:Abstract:
A possible way to prove isoperimetric inequalities may be:
- prove the existence of an optimal shape, without imposing any regularity constraint on the admissible shapes. A relaxation phenomenon may be observed, e.g. the solution is a measure or a quasi-open set.
- prove the regularity of the optimal shape. This problem is often very difficult, but sometimes a mild regularity result is enough in order to pass to the next step.
- extract optimality conditions and get extra information about the optimal shape. If the regularity is not very high, classical optimality conditions obtained by shape derivative methods can not be written. Other optimality criteria have to be used.
This plan will be discussed for the minimization of the the eigenvalues of the Laplacian with Dirichlet and Robin boundary conditions.
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Monica Conti, Dipartimento di Matematica, Politecnico,
Regular attractors for the Cahn-Hilliard equation with memory, Tuesday, Febraury 09, 2010, time 16:15 o'clock, Aula seminari III piano
Abstract:Abstract:
The Cahn-Hilliard equation is a parabolic differential equation of forth order
which plays an essential role in material sciences since 1958, when it was introduced by J.W. Cahn and J.E Hilliard. This talk concerns
with its memory relaxation, namely an integro-differential version
of the original equation which arises as a model for the phenomenological description of phase transition based on the relaxation of the chemical potential.
We first deal with the viscous version of the model and present results on
the existence of a global attractor of optimal regularity and its stability
with respect to the physical sensible parameters involved in the equation.
We finally discuss very recent results on the asymptotic behavior of the non-viscous 2D-model; remarkably, in absence of viscosity and instantaneous diffusion effects, even the well-posedness of the 3D-model is an open question.
Louis Dupaigne, Université de Picardie,
Symmetry and asymptotics in semilinear elliptic problems, Tuesday, January 26, 2010, time 16:15 o'clock, Aula seminari III piano
Abstract:Abstract:
Consider a domain of Euclidean space having a certain symmetry, say about a point or a hyperplane. Is it true that every solution of a
nonlinear PDE inherits the symmetry property, if the equation allows it? Starting from a classical result of Gidas, Ni and Nirenberg, we
question the optimality of the conditions under which symmetry is preserved/violated, in the following directions: weak solutions, nodal
solutions, non-lipschitz nonlinearities.
I will try to make a case for the asymptotic nature of the problem, by spending the second part of the talk on the case of boundary blow-up
solutions. The proofs rely on classical tools, such as the maximum principle and
the Alexandrov device of moving parallel hyperplanes, as well as a more recent technique developped with O. Costin (Ohio State U),
stemming from exponential asymptotics.
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Susanna Terracini, Università di Milano-Bicocca, Problemi matematici nella condensazione di Bose-Einstein, Wednesday, January 20, 2010, time 16:15, Aula Seminari MOX - VI piano
